Determinaţi raza cercului circumscris triunghiului dreptunghic cu lungimea unei catete egala cu 10 cm şi raza cercului înscris egală cu 4 cm.

REZOLVARE:

Notam cu x lungimea catetei celelalte, atunci ipotenuza = radical(100+x2), potrivit teoremei lui Pitagora.
Aria triunghiului: A = r*p, r raza cercului inscris, p: semiperimetrul, adica: p = [10+x+rad(100+x2)]/2, deci A = r*[10+x+rad(100+x2)]/2 = 2* [10+x+rad(100+x2)]=20+2x+2*rad(100+x2).
Dar aria unui triunghi dreptunghic: A = cateta*cateta/2, adica: A = 10*x/2 = 5x.

 => 5x = 20+2x+2*rad(100+x2) => 3x-20 = 2* rad(100+x2) (3x-20>0 => x>20/3)

Ridicam la patrat: 9x2-120x+400 = 4x2+400 => 9x2-120x=4x2, adica 5x2-120x=0, scoatem factor comun 5x, adica 5x(x-24)=0, de unde x-24=0, deci x=24cm.

Cateta cealalta are 24cm => ipotenuza = rad(100+x2)=rad(100+242)=rad(676)=26cm> 20/3, se admite:) , deci ipotenuza are lungimea de 26cm.

Intr-un triunghi dreptunghic raza cercului circumscris reprezinta jumatate din ipotenuza, adica: R = 26/2 = 13cm