Intr-un acvariu urias traiesc trei specii de pesti...

Intr-un acvariu urias traiesc trei specii de pesti: A, B si C. In ultimul an raportul dintre numarul de pesti de specia A si numărul de pești de specia B a crescut cu cincizeci la suta. În plus, raportul dintre numarul de pesti de specia B si numarul de pesti de specia Ci a crescut cu 20%. Cu cat a crescut raportul dintre specia de pesti A si numarul de pesti de specia de C?

Raspuns: 80%

Doza recomandata si volumul unei picaturi

Doza recomandata a unui medicament este de treizeci de picaturi pe zi, ceea ce corespunde la trei miligrame de pricipiu activ. Stiind ca concentratia de ingredient activ si de 2,5 miligrame per mililitru, care este volumul unei picaturi?

Raspuns: 0,04 millilitri

Clubul Masinilor de Epoca

Un club exclusivist de fani de mașini de epocă potrivit statutului poate avea cel mult 11 membri. În plus, fiecare membru trebuie să aibă un număr impar de astfel de autoturisme, dar nu mai multe de 31, precum și conditia ca doi membri sa nu poata avea același număr de mașini. Care este numărul maxim de autovehicule, care poate avea in total toti membrii clubului?

Raspuns: doua sute treizeci si unu de masini de epoca.

Aratati ca printre oricare sase numere intregi exista doua numere a caror diferentă este divizibila prin cinci

Aratati ca printre oricare sase numere intregi exista doua numere a caror diferentă este divizibila prin cinci.

Soluţie. Considerăm 5 cutii etichetate cu numerele 0,1,2,3,4, care reprezintă resturile împărţirii la 5.Repartizăm în aceste cutii şase numere întregi arbitrare, în dependenţă de restul împărţirii la 5, adică în aceeaşi cutie se plasează numerele cu acelaşi rest de împrţire la 5. Cum numerele ("obiecte") sunt mai multe decât

cutiile, conform principiului Dirichlet, există o cutie ce conţine mai mult decât un obiect. Deci, există (cel puţin)două numere plasate în aceeaşi cutie. Prin urmare, există două numere cu acelaşi rest de împărţire prin 5.

Atunci, diferenţa lor este divizibilă prin 5.

Intr-o cutie sunt zece creioane

Intr-o cutie sunt zece creioane de culoare rosie, opt de culoare albastră, opt de culoare verde si patru de culoare galbenă. La întâmplare (aleator) din cutie se extrag n creioane.Să se determine numărul minimal de creioane care trebuie extras astfel încât să fie:

a) Nu mai puţin de patru creioane de aceeaşi culoare.
b) Cel puţin 6 creioane sunt de culoare albastră.
c)Câte un creoin de fiecare culoare.

scrie-ti raspunsul la rubrica de comentarii: 

pe un camp mic pe un camp mic

intr-o zi de vara cu soare, pe un camp mic si verde cu aria trei hectare si jumate, pasc doua vaci de lapte de aceeaşi culoare şi prasila, care difera intre ele numai prin faptul ca una dintre ele are coada scurta. campul este in forma de paralelogram si o vaca mananca iarba, deplasandu-se pe diagonala acestuia, iar cealalta pe laturi. Care dintre aceste vaci va manca mai multa iarba intr-o ora daca au pofta de mancare egala si patura de verdeata a campului este la fel pe toata suprafata?

care-i rezolvarea?

sa se raspunda in comentarii....

problema de logica cu mere

intr-un cos sunt paisprezece Kilograme de mere.  Avem o balanta si o greutate de doua Kilograme.
Cum facem pentru a masura trei Kilograme de mere numai din doua cantariri ?

Raspuns.: masuram odata doua kilograme, iar a doua oara puneme mere pe balanta pana acul se inlina la jumatate.

cand s-a obtinut primul rezultat cunoscut prin inductie matematica?

În anul 1575   într-o lucrare de aritmetică este inclus primul rezultat cunoscut obţinut prin inducţie matematica: suma primelor n numere impare este egala cu n^2.

ce sunt numerele perfecte si care este istoria descoperirii lor?

Numărul perfect este un număr întreg egal cu suma divizorilor săi, din care se exclude numărul însuși.

Primele patru numere perfecte sunt: 6, 28, 496, 8128.


În anul 1536   într-o lucrare de aritmetică a matematicianului Regius apare al cincilea număr perfect cunoscut: 33 350 336.

cine a descoperit criteriile de divizibilitate ale numerelor?

cine a descoperit criteriile de divizibilitate ale numerelo, cunoscute acum ca si numerele Fibonacci?

În anul 1200 Leonardo Pisano cunoscut sub numele de  Fibonacci scrie lucrarea  "Liber abaci", considerată timp de două secole cea mai competentă sursă de cunoştinţe în teoria numerelor.
Sunt prezentate criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5 şi 9.

cine si cand a construit triunghiul lui Pascal pentru prima data?

Desi se numeste triunghiul lui Pascal, acest triunghi de numere a fost descoperit mult mai deverme si nu de catre Blaise Pascal, si nu in Franta. În anul 1100 Jia Xien stabileşte o metodă de construcţie a triunghiului de numere numit mai târziu triunghiul lui Pascal.

exercitiu rezolvat cu aplicarea pricipiului paritatii

Avem patru numere: 32, 46, 52, 66. La fiecare pas avem voie să înlocuim fiecare număr cu media aritmetică a celorlalte trei numere rămase. Putem obține după câțiva pași numerele: 36, 45, 50, 56?

REZOLVARE:
Suma celor patru numere rămâne mereu aceeași(invariantul). Dar 32 + 46 + 52 + 66 nu este = 36 + 45 + 50 + 56

Produsul a două numere naturale este 96. Dacă primul dintre numere se micşorează cu 9, iar al doilea număr se măreşte de patru ori, atunci produsul lor rămâne neschimbat. Aflaţi cele două numere.

Produsul a două numere naturale este 96. Dacă primul dintre numere se micşorează cu 9, iar al doilea număr se măreşte de patru ori, atunci produsul lor rămâne neschimbat. Aflaţi cele două numere.
REZOLVARE:
a*b=96
(a-9)*4b=96
(a-9)*b=24, rezulta, a*b-9*b=24 sau 9*b=72
b=8, a=12

Care este raspunsul corect la problema cu principiul paritatii?

Se consideră un număr natural căruia îi schimbăm în mod arbitrar ordinea cifrelor. Este posibil ca diferența dintre numărul inițial și cel final să fie 2011?
REZOLVARE:

Numărul inițial și numărul obținut prin schimbarea arbitrară a cifrelor dau prin împărțirea la 9 același rest. Deci diferența lor este multiplu de 9. Dar 2011 nu este multiplu de 9.

Aflați ultimul număr rămas scris pe tablă.

Pe o tablă sunt scrise numerele naturale de la 1 la 2000. La fiecare pas se șterg două numere și se scrie în loc suma lor micșorată cu 2.
REZOLVARE:

Fie S suma inițială a numerelor scrise pe tablă. Suma numerelor de pe tablă scade
cu 2 la fiecare pas. Sunt necesari 1999 pași pentru ca pe tablă să rămână un singur număr. Deci
avem ultimul număr egal cu S – 2x1999.

O alta problema cu principiul paritatii. Rezolvare.

Un cerc este împărțit în șase sectoare. În fiecare sector se plasează câte un pion. Este permis să alegem 2 pioni și să plasăm pe fiecare din ei într-un sector vecin. Este posibil să strângem toți pionii în același sector?
REZOLVARE:

Numerotăm sectoarele cu numere de la unu la șase. Pentru orice așezare a pionilor
în cerc calculăm suma S a numerelor scrise în sectoarele ocupate de către pioni. Când se mută un
pion dintr-un sector în altul se schimbă paritatea sumei S. Dar dacă mutăm câte doi atunci paritatea
rămâne neschimbată. Cum S = 21 inițial însemnă că după orice mutare(de câte 2 pioni)  S rămâne
impară. Dar dacă toți cei șase pioni sunt în același sector suma S este egală cu 6x adică pară! Deci
răspunsul este NU

principiul paritatii. probleme rezolvate

Pe tablă sunt scrise 11 cifre: șase cifre de 0 și cinci cifre de 1. Se șterg două numere de pe tablă și în locul lor, dacă numerele șterse sunt egale se scrie 0 iar în rest se scrie 1. Se repetă operația până rămâne scrisă pe tablă o singură cifră. Aflați ultima cifră rămasă pe tablă.

REZOLVARE:

Ultima cifră va fi 1. Suma cifrelor scrise inițial pe tablă este 5(număr impar) iar la fiecare pas suma scade cu 2 sau rămâne constantă. Deci mereu suma cifrelor de pe tablă va fi un număr impar.

definitia principiul invariantului

Invariantul este o marime, o relatie, sau o proprietate care ramâne neschimbata în urma aplicarii sau interventiei unei transformari, desi o situatie initial este supusa în mod repetat unor transformari. De obicei se cere sa se demonstreze ca în urma acestor transformari nu se poate ajunge la o anumit forma. Aceasta se poate face alegând caracteristica obiectului care a fost supus transformarii, adica "invariantul" transformarii. Daca în final obiectul nu posed "invariantul" atunci el nu poate fi obtinut în urma transformarilor descrise.

EXEMPLU:

Consideram un numar natural  caruia îi schimbam în mod arbitrar ordinea cifrelor. Este posibil ca diferenta dintre numarul initial  si cel final sa fie 2003? 

REZOLVARE: Restul împartirii numarului la 9 este acelasi cu restul împartirii sumei cifrelor sale la 9. Suma cifrelor este aceeasi, rezulta ca restul împartirii numarului la 9 este un invariant.

rezolvarea unui exercitiu cu siruri de numere

Se considera sirul numerelor naturale de la 1 la 1979 adica : 1,2,3,4,...,1977,1978,1979. Luati la intamplare oricare doua numere din acest sir si inlocuiti-le cu modulul diferentei lor. La fiecare operatie de acest fel numarul numerelor din sir scade cu unu (fiindca am inlocuit doua numere cu unul) si vom obtine, in final, un singur numar. Aratati ca acest numar este par.

REZOLVARE:

La fiecare etapa a operatiei descrise, numarul numerelor impare din sir ramane neschimbat sau descreste cu doi, deoarece daca, in primul caz, luam un numar par si unul impar, modulul diferentei lor este impar, deci numarul impar l-am inlocuit cu altul impar, iar in al doilea caz daca luam doua numere impare, modulul diferentei lor este un numar par, deci numarul numerelor impare scade cu doi. In sirul 1,2,3,...,1979 avem (1+1979):2 numere impare, adica 990.
La fiecare pas ramane un numar par de numere impare si atunci ultimul numar va fi cu siguranta par.

Ce este principiul paritatii in matematica?

In matematica elementara intalnim multe probleme care folosesc notiunea de paritate. Principiul paritatii consta in separarea cazurilor pare si impare dintr-o situatie.

Regulile paritatii:
- suma a doua numere pare este un numar par
- suma a dou numere impare este un numar par
- suma dintre un numar par is altul impar este un numar impar
- produsul a doua numere pare este un numar par
- produsul a doua numere impare este un numar impar
- produsul dintre un numar par si un numar impar este un numar par.