care este raspunsul corect la 12a^2b-4a^2b^2+16ab^2?

Care este raspunsul corect la 12a^2b-4a^2b^2+16ab^2? aflama mai intai numitorul comun cel mai mic, care este 4ab. Prin urmare vom obtine urmatorul rezultat:
4ab(3a-ab+4b).

care este raspunsul corect la:18x^2y+12xy^2

care este raspunsul corect la: 18x^2y+12xy^2. Sa se afla la inceput numitorul comun ai celor doi factori.
Acesta este 6xy. prin urmare vom avea rezultatul: 6xy*(3x+2y).

Cum se descompune in factori comuni exercitiul

Cum se descompune in factori comuni exercitiul: 18x-48y?
pentru a descompune in factori comuni trebuie sa gasim cel mai mare numitor comun.
cel mai mare numitor comun este 6. prin urmaare vom avea rezulatul:
6*(3x-8y)

Descompunerea in factori comuni

Se da urmatorul exercitiu pentru a descompune in factori comuni:

5x-10y.

faqctorul comun este cinci, prin urmare vom avea rezultatul urmator: 5*(x-2y)

descompunerea in factori primi a unui numar

In Algebra, se intlege prin descompunerea in factori primi a unui nr natural
intelegem  scrierea acelui numar natural ca produs de puteri de numere prime. Daca n este numarul natural, atunci n = p 1a1 inmultit cu  p2a2 inmultit cu ...inmultit cu   p nan unde pi, i =1,...,n sunt numere prime si ai , i = 1,...,n sunt numere naturale de obicei numerele pi se scriu in ordine lexicografica.

de exemplu: 5760 = 128*9*5 = 27*32*51

ce este principiul paritatii in matematica?

Principiul paritatii consta in separarea cazurilor pare si impare dintr-o situatie. Regulile paritatii sunt urmatoarele:
1. Suma a doua numere pare este un numar par.
2. Suma a doua numere impare este un numar par.
3. suma unui numar par si a unui numar par este un numar impar.
4. produsul dintre un numar impar si unul par este un numar par.
5. produdul a doua numere pare este un numar par.
6. produsul a doua numere impare este un numar impar.

un elev cumpara 10 carti, de literatura si de matematica.El plateste 9 lei pentru o carte de literatura si 7 lei pentru o carte de matematica,cheltuind astfel 76 de lei.Cate carti de matematica a cumparat elevul

REZOLVARE:

Numarul cartilor de literatura sa fie l, iar numarul celor de matematica, m.
Atunci: 9*l + 7*m = 76 (9 lei bucata carte de literatura iar 7 lei bucata carte de matematica, in total 76 lei) iar l + m = 10 (sunt 10 carti in total).
9l + 7m = 2l + 7l + 7m = 2l + 7*(l + m) (am dat factor comun, 7)
Atunci 9l + 7m = 76 => 2l + 7*(l + m) = 76, dar l + m = 10 , atunci ecuatia o sa arate astfel 2l + 7*10 = 76, adica 2l = 76 - 70, de unde 2l = 6 => l = 6:2 = 3 , deci sunt 3 carti de literatura, rezulta ca sunt 10 - 3 = 7 carti de matematica.

Să se calculeze probabilitatea ca, alegând o cifră x, aceasta să verifice inegalitatea (x+1)!-x!<=100.

REZOLVARE:  x!(x+1)-x!<=100 x!(x+1-1)<=100 x!
x<=100 pt. x=0 0<=100
pt. x=1 1<=100 (A)
pt. x=2 ... pt. x=3 .. pt. x=4 4!*4=96<=100 (A) pt. x = 5 ... (F) nr. cazuri favorabile = 5
nr. cazuri posibile = 10 (cifre) p=5/10=1/2

Daca ab*ba=1855 aflati numarul ab

Rezolvare:
Cum ultima cifra a numarului 1855 este 5 inseamna ca a=5 si b este numar impar sau b=5
si a este numar impar
5b*b5=1855
pentru b=3 obtinem 53*35=1855

Suma a 12 numere naturale nenule este 77. Aratati ca printre ele se afla cel putin doua numere egale.

Demonstratie:

Presupunem  ca exista 12 numere naturale nenule distincte ce au suma 77. Daca le consideram pe cele mai mici, suma lor este:
1+2+3+...+11+12= 12*13/2=6*13=78

Cum suma celor mai mici 12 numere naturale nenule distincte este mai mare decât suma data, 77, rezulta  ca presupunerea  facuta este falsa. Deci printre numerele considerate exista cel putin doua numere egale.

ce este metoda reducerii la absurd si cum este folosita ea in matematica

Metoda reducerii la absurd este o metoda specific de demonstratie în matematic . La baza acestei metode sta una din legile fundamentale ale logicii clasice: legea tertului exclus, ce are urmatorul enunt :
Din dou propozitii contradictorii una este adevarat , cealalta falsa , iar a treia posibilitate nu exista .
Legea tertului exclus nu ne precizeaza care din cele dou propozitii este adevarata si care este falsa.
Când la doua propozitii contradictorii aplicam legea tertului exclus este suficient  sa stabilim  ca una dintre ele este falsa pentru a deduce  ca cealalt este adevarata.
Metoda reducerii la absurd consta în a admite în mod provizoriu, ca adevarata propozitia contradictorie propozitiei de demonstrat, apoi pe baza acestei presupuneri se deduc o serie de consecinte care duc la un rezultat absurd, deoarece ele contrazic sau ipoteza problemei date sau un adevar stabilit mai înainte. Mai departe rationam astfel: daca presupunerea ar fi fost adevarata, atunci în urma rationamentelor logice corecte ar fi trebuit  sa ajungem la o concluzie adevarata, deoarece am ajuns la o concluzie falsa, înseamna ca presupunerea noastra a fost falsa. Aceasta duce la concluzia  ca presupunerea facuta nu este posibila si ramâne ca adevarata concluzia propozitiei date.
Metoda reducerii la absurd nu se reduce la propozitia  ca "a demonstra o propozitie este acelasi lucru cu a demonstra contrara reciprocei ei", deoarece pot aparea si situatii în care nu se contrazice ipoteza ci o alta propozitie (un rezultat cunoscut, o axioma , o teorema). Metoda reducerii la absurd se foloseste atât în rezolvarea problemelor de calcul (de aflat) cât si la rezolvarea problemelor de "demonstrat".
Metoda este des utilizata în demonstrarea teoremelor reciproce, precum  si în demonstrarea teoremelor de unicitate.

In pomul minune gradinarul a facut sa creasca 25 de banane si 30 de portocale. In fiecare zi elo rupe doua fructe, iar in pom creste un fruct. daca rupe doua fructe de acelasi fel, creste o portocala, iar daca rupe doua fructe diferite atunci creste o banana. care este ultimul fruct din acest pom minune?

REZOLVARE:
Invariantul transformarii este numarul impar de banane. Prin urmare, in urma mutarii, ultimul fruct care va ramane pe pom va fi banana.

Daca pe tabla de sah un cal a facut sapte salturi, aratati ca acesta nu poate ajunge pe patratul initial.

DEMONSTRATIE:
Dupa un numar impar de salturi calul de pe tabla de sah se afla pe un patrat de culoare diferita decat culoarea initiala. in mod evident, acesta nu poate fi patratul initial.

Aratati ca daca produsul a 2006 de numere egale cu 1 sau cu -1 este egal cu unu, atunci suma lor nu poate fi zero.

DEMONSTRATIE:
Numarul factorilor produsului egali cu -1 este par. Daca suma celor 2006 de numere ar fi zero, atunci trebuie sa avem acelasi numar de termeni egali cu 1 si cu -1. Deci am avea 1003 termeni egali cu -1, ceea ce ar fi o contradictie cu datele problemei.

Intr-unul dintre patratele tablei de sah este scris +1, iar in celelalte -1. Intelegem prin mutare schimbarea tuturor semnelor numerelor dintr- o linie sau coloana oarecare. Sa se arate ca oricate mutari am efectua nu vom putea obtine +1 in toate patratele tablei de sah.

DEMONSTRATIE:
Oricate mutari am efectua, paritatea numerelor de semne + de pe tabla nu se schimba si cum produsul tuturor numerelor de pe tabla este egal cu -1, nu vom avea numere +1.

Ce sunt sirurile fundamentale. Teorema criteriului general al lui Cauchy.

Definitie. Sirul (an)n∈N se numeste sir fundamental (sau sir Cauchy) daca si numai daca (∀) ε > 0 (∃) N = N(ε) ∈ N a.ˆı. (∀) n ≥ N, (∀) p ∈ N ∗ ⇒ |an+p − an| < ε.

Teorema Criteriului general de convergenta a lui Cauchy
Sirul (an)n≥N este convergent daca si numai daca este fundamental.

Să se determine mulţimile A si B ce satisfac simultan condiţiile: 1) AU B = {1, 2, 3, 4, 5}; 2)AnB={3,4,5} ; 3) 1 nu apartine A \ B; 4) 2 nu apartine B \ A.

Solutia problemei:


Din  1)  si  2)  rezultă  {3, 4, 5}  ~  A  ~  A  U  B  si {3,4,5}   ~ B  ~ AU B.  
Din  3)   rezultă  1  nu apartine lui  A  sau  1  E  B.   Dacă 1  nu apartine A,  atunci   din  AUB = {1,2,3,4,5}  rezultă  1  E  B.   Însă dacă 1 E  B,  atunci   1 nu apartine lui  A,  deoarece  în  caz  contrar   1 E  An B  = {3, 4, 5}. Deci rămâne 1 E B  si  1 nu apartine lui  A.
În mod analog,  din  4) urmează 2 nu apartine lui  B  si deci  2 E A.  Cu alte  cuvinte, {3,4,5}  ~ A ~ {2,3,4,5}  si  {3,4,5}  ~ B  ~ {1,3,4,5}  cu  2 E AuB,  1 E AUB si  de aceea A = {2,3,4,5} ,  iar  B  = {1,3,4,5}.
Raspuns:  A = {2,3,4,5},  B  = {1,3,4,5}.

Ce sunt Diagramele Euler-Wenn. Definitie.

Diagrame  ale  lui Euler  (în SU A - ale lui Wenn)  se  numesc  figurile  cu  ajutorul  cărora se interpretează mulţimile  ( cercuri , pătrate, dreptunghiuri etc . )  Si se demonstrează ilustrativ unele proprietăţi ale operaţiilor cu mulţimi.

ce sunt multimile? Teorie si exemple.

O  mulţime este determinată cu ajutorul uneia sau mai multe proprietăţi pe care cerem să le satisfacă elementele sale . Cu această deflniţie s - ar părea că putem considera ca mulţime orice totalitate de obiecte . Totuşi lucrurile nu stau aşa.

Dacă presupunem, prin absurd, că orice totalitate de obiecte formează o mulţime atunci totalitatea mulţimilor ar forma la rândul ei o mulţime, pe care să o notăm de exemplu cu M. Dar atunci şi famil ia ~(M) a părţilor sale ar forma o mulţime. Am avea deci

~(M) E M.

Notand prin card M numărul elementelor lui ~ M. vom avea :

card ~(M) ~ cardM

Dar o teoremă datorată lui Cantor arată că avem intotdeauna

card M < card ~(M)

Prin urmare, in mod surprinzător poate , nu orice totalitate de obiecte poate fi considerată mulţime.

DEFINITIE: Se numeşte mulţime totală, notată cu T • mulţimea obiectelor matematice cu care se lucrează la un moment dat.

Rezolvarea ecuatiilor exponentiale - nimic mai simplu

Rezolvarea ecuatiilor exponentiale nu ar trebui sa dea mari batai de cap elevilor. urmariti in continuare o metoda simpla de a o rezolva:
2^3x - 3^4=2^69
rezulta ecuatia 3x-4=69

prin urmare 3x=69+4=73

iar x= 73:3.

69